Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

．
（1）求证BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据三垂线定理即可证得BC⊥SC；
（2）把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，∠CSD为所求二面角的平面角，在三角形CSD中解出此角．

解答：（1）证明：如图1
∵底面ABCD是正方形；
∴BC⊥DC；
∵SD⊥底面ABCD；
∴DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得BC⊥SC

（2）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可以把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S
∴SC⊥A₁S
又SD⊥A₁S，
∴∠CSD为所求二面角的平面角
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=

2

在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1，
∴∠CSD=45°即面ASD与面BSC所成的二面角为45°

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．