Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

1- a 2 n

．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）猜想数列{b_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得b_n+1=

1

2-bn

，结合a₁=

1

4

，a_n+b_n=1即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由（1）可猜想b_n=

n+2

n+3

，用数学归纳法证明即可．可分二步走，①当n=1时，易证命题成立；②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，去推证当n=k+1时，命题也成立即可．

解答：解：（1）b_n+1=

bn

1- a 2 n

=

bn

(1-an)(1+an)

=

bn

bn(2-bn)

=

1

2-bn

，
∵a₁=

1

4

，b₁=

3

4

，
∴b₂=

4

5

，b₃=

5

6

，b₄=

6

7

，…4分
（2）猜想b_n=

n+2

n+3

，下面用数学归纳法证明…5分
①当n=1时，b₁=

3

4

=

1+2

1+3

，命题成立，…6分
②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即b_k=

k+2

k+3

；
那么当n=k+1时，b_k+1=

1

2-bk

=

1

2- k+2 k+3

=

k+3

k+4

=

(k+1)+2

(k+1)+3

；
∴当n=k+1时命题也成立；
由①②知，对任意正整数命题都成立…8分

点评：本题考查数学归纳法，猜得b_n=

n+2

n+3

是关键，考查数列递推式，考查猜想与推理证明的能力，属于中档题．