Question

【题目】已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．

（1）写出曲线E的直角坐标方程；

（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x2+4y2=16；（2）

【解析】

（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式求解；

（2）先求出点M的坐标，再利用点到直线的距离公式可求最值.

（1）由4（ρ24）sin2θ=（16ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；

所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．

（2）直线l的普通方程为：x2y+3=0，

设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）

点M到直线l的距离d==≤=