Question

已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1，
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

解：（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1，
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞1-1=0，
∴f（x）是R上的增函数；
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²-m-2）＜3=f（2），又f（x）是R上的增函数；
∴3m²-m-2＜2，
∴-1＜m＜
∴不等式f（3m²-m-2）＜3的解集为：{m|-1＜m＜}．
分析：（1）设x₁＜x₂，利用函数单调性的定义作差结合已知条件判断符号即可；
（2）利用f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5即可求得f（2）=3，再利用其单调递增的性质脱掉“f”，解关于m的不等式即可．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查抽象函数的单调性，f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]是解决的关键，属于中档题．