Question

18．已知函数f（x）满足f（1）=$\frac{1}{2}$，f（n+1）=$\frac{1}{1+f（n）}$，求|f（n+1）-f（n）|的最大值．

Answer 1

分析 由条件可得f（2），f（3），f（4），f（5），归纳特点，求出n=1，2，3，4，求出|f（n+1）-f（n）|的数值，总结变化情况，即可得到最大值．

解答 解：由f（1）=$\frac{1}{2}$，f（n+1）=$\frac{1}{1+f（n）}$，
可得f（2）=$\frac{2}{3}$，f（3）=$\frac{3}{5}$，f（4）=$\frac{5}{8}$，f（5）=$\frac{8}{13}$，…
以后的每一项的分子、分母均为前两项的和，
则|f（2）-f（1）|=|$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{6}$，|f（3）-f（2）|=$\frac{1}{15}$，
|f（4）-f（3）|=$\frac{1}{40}$，|f（5）-f（4）|=$\frac{1}{104}$，…，显然分母越来越大，
分子不变，则有最大值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查数列相邻两项的差的绝对值的变化，考查数列的各项的变化特点，属于中档题．