Question

8．如图，两条过原点O的直线l₁，l₂分别与x轴、y轴成30°的角，点P（x₁，y₁）在直线l₁上运动，点Q（x₂，y₂）在直线l₂上运动，且线段PQ的长度为2．
（Ⅰ）若x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x₁，y=$\sqrt{3}$x₂，求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过（-1，0）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A、B，若△AOB的面积为$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将点P、Q分别代入l₁、l₂，利用已知条件计算即可；
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，易得S_△AOB=$\frac{3}{2}$，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离计算即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意可得：l₁：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，l₂：y=-$\sqrt{3}$x，
∵点P（x₁，y₁）在直线l₁上运动，点Q（x₂，y₂）在直线l₂上运动，
∴y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₁，y₂=-$\sqrt{3}$x₂，
又由已知得：l₁⊥l₂，且|PQ|=2，
∴（x₁²+y₁²）+（x₂²+y₂²）=4，化简得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+$x₂²=1，
由x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x₁ ，y=$\sqrt{3}$x₂，可得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，x₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，
∴动点M（x，y）的轨迹C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，得A（-1，$\frac{3}{2}$）、B（-1，-$\frac{3}{2}$），
此时S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|AB|•|OF₁|=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，
代入椭圆方程，消去y得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
显然△＞0成立，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
又圆O的半径r=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|AB|•r=$\frac{1}{2}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$•$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$．
化简得17k⁴+k²-18=0，即（k²-1）（17k²+18）=0，
解得k₁²=1，k₂²=-$\frac{18}{17}$（舍），∴r=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故圆O的方程为：x²+y²=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．