Question

16．已知过抛物线y²=2px（p＞0）上一点A（4，y₀）到焦点F的距离为5．
（1）求p、y₀的值；
（2）设点M（m，0）（m为常数），是否存在过M的直线（与x轴不垂直）与抛物线交于A、B两点，AB的垂直平分线与抛物线和x轴分别交于P、B两点，AB的垂直平分线与抛物线和x轴分别交于P、Q（P、Q位于直线两侧），使四边形APBQ为一内角是$\frac{π}{3}$的菱形，若存在，求直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的准线，由抛物线的定义，可得p=2，将A代入抛物线方程，可得y₀的值；
（2）设出直线AB的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，中点坐标公式，可得AB的中点，即为PQ的中点，设出PQ的方程，求得P，Q的坐标，由四边形APBQ为一内角是$\frac{π}{3}$的菱形，可得|AB|=$\sqrt{3}$|PQ|，解方程可得m=2，即可判断是否存在．

解答 解：（1）抛物线y²=2px的准线为x=-$\frac{p}{2}$，
即有抛物线定义可得，|AF|=4+$\frac{P}{2}$=5，
解得p=2，
抛物线方程为y²=4x，
即有y₀²=16，可得y₀=±4；
（2）设直线AB：y=k（x-m），
代入抛物线方程y²=4x，
可得k²x²-（2mk²+4）x+k²m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=2m+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=m²．
即有AB的中点C（m+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（m+2-\frac{2}{{k}^{2}}）^{2}-4{m}^{2}}$，
由题意可得直线PQ：y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-m-$\frac{2}{{k}^{2}}$），
令y=0可得x=m+2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
即有Q（m+2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，0），
由C为PQ的中点，可得P（m+$\frac{2}{{k}^{2}}$-2，$\frac{4}{k}$），
代入抛物线方程可得k²=$\frac{2}{m-2}$，①
即有P（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
|PQ|=$\sqrt{{4}^{2}+\frac{16}{{k}^{2}}}$，
由四边形APBQ为一内角是$\frac{π}{3}$的菱形，可得
|AB|=$\sqrt{3}$|PQ|，
即有$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16-4{m}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{16+8m-16}$，②
解得m=2（负值舍），k不存在．
故不存在这样的直线AB，使四边形APBQ为一内角是$\frac{π}{3}$的菱形．

点评 本题考查抛物线的定义和方程、性质的运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．