Question

1．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知∠A=$\frac{π}{4}$，bsin（$\frac{π}{4}$+C）-csin（$\frac{π}{4}$+B）=a，求证：∠B-∠C=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行证明即可．

解答 证明：∵bsin（$\frac{π}{4}$+C）-csin（$\frac{π}{4}$+B）=a，A=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理可得sinBsin（$\frac{π}{4}$+C）-sinCsin（$\frac{π}{4}$+B）=sinA．
sinB（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosC）-sinC（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得sinBcosC-cosBsinC=1，
即sin（B-C）=1，
∵A=$\frac{π}{4}$，
∴B+C=$\frac{3π}{4}$，
即0＜B＜$\frac{3π}{4}$，0＜C＜$\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{3π}{4}$＜-C＜0，
则-$\frac{3π}{4}$＜B-C＜$\frac{3π}{4}$，
从而B-C=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，利用两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．