Question

12．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线经过原点，求a的值；
（2）当a≤0时，求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率，求出切点，由题意可得方程，即可解得a=4；
（2）求得函数的导数，分解因式，再由x＞0，a≤0，即可判断导数的符号，进而判断极值的存在．

解答 解：（1）函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax的导数为
f′（x）=$\frac{a-2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a，
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=a-2-1+2a=3a-3，
由f（1）=1+2a，可得切点为（1，1+2a），
由题意可得3a-3=1+2a，解得a=4；
（2）f′（x）=$\frac{a-2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{2a{x}^{2}+（a-2）x-1}{{x}^{2}}$
=$\frac{（2x+1）（ax-1）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
当a≤0时，x＞0则ax-1＜0，2x+1＞0，
即有f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，
则当a≤0时，f（x）无极值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查运算能力，属于中档题．