Question

20．已知f（x）=$\sqrt{4+\frac{1}{{x}^{2}}}$，点P_n（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把点P的坐标代入f（x）的解析式化简，根据等差数列的定义即可证明结论；
（2）由（1）和等差数列的通项公式求出$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，由a_n＞0求出a_n．

解答 证明：（1）∵点P_n（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）在曲线f（x）=$\sqrt{4+\frac{1}{{x}^{2}}}$上，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}}$，则$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=4+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4，
又a₁=1，∴数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项、4为公差的等差数列；
解：（2）由（1）可得，$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
则${{a}_{n}}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$，
由a_n＞0得，a_n=$\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式，以及化简、变形能力．