Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{5}$，且当n≥2，n∈N₊时，有$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$．
（1）求证：数列{$\frac{1}{an}$}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$变形可知$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$，进而$\frac{1}{{a}_{n}}$=4+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，从而数列{$\frac{1}{an}$}是以5为首项、4为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=4n+1，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$，
∴$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$，
即2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=4+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{5}}$=5，
∴数列{$\frac{1}{an}$}是以5为首项、4为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}}$=5+4（n-1）=4n+1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{4n+1}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．