Question

3．若函数f（x）=$\frac{4x}{x+1}$，g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|-|x-b|），a＜b，?x₁≥0，?x₂≤x₁，使得g（x₂）=f（x₁），则2a+b的最大值为-7．

Answer 1

分析 当x≥0时，f（x）=$\frac{4x}{x+1}$为增函数，此时f（x）∈[0，4），g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|-|x-b|），x∈[a，b]时，也为增函数，且斜率为1，进而结合?x₁≥0，?x₂≤x₁，使得g（x₂）=f（x₁），可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}（b-a）≥4\\ \frac{1}{2}（b+a）≤-1\end{array}\right.$，求出2a+b的范围后，可得2a+b的最值．

解答 解：当x≥0时，函数f（x）=$\frac{4x}{x+1}$的导函数f′（x）=$\frac{4}{（x+1）^{2}}$＞0恒成立，
故f（x）=$\frac{4x}{x+1}$为增函数，此时f（x）∈[0，4），
令f′（x）=$\frac{4}{（x+1）^{2}}$=1，则x=1，
故与函数f（x）=$\frac{4x}{x+1}$相切的斜率为1的直线对应的切点坐标为（1，2），
则切线方程为：x-y+1=0，此时切线交x轴于（-1，0）点，
g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|-|x-b|）∈[-$\frac{1}{2}$（b-a），$\frac{1}{2}$（b-a）]，
若?x₁≥0，?x₂≤x₁，使得g（x₂）=f（x₁），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}（b-a）≥4\\ \frac{1}{2}（b+a）≤-1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}b-a≥8\\ b+a≤-2\end{array}\right.$，
令2a+b=x（b-a）+y（b+a），则$\left\{\begin{array}{l}y-x=2\\ y+x=1\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}（b-a）≤-4\\ \frac{3}{2}（b+a）≤-3\end{array}\right.$得：2a+b≤-7，
即2a+b的最大值为：-7，
故答案为：-7

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，绝对值函数的图象，反比例型函数的图象，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．