Question

18．已知命题p：a²＜a（a∈R），命题q：对任意x∈R，都有x²+4ax+1≥0（a∈R）
（1）若命题p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题p，q为真时，实数a的取值集合分别为集合M和集合N，则“x∈M或x∈N”是“x∈（M∩N）”的什么条件？并说明理由（提示：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件）

Answer 1

分析 （1）分别求出p，q分别为真，假命题时的a的范围，取交集，从而求出a的范围；（2）求出集合M、N和M∩N，从而判断出结论．

解答 解：（1）∵命题p：a²＜a，解得；0＜a＜1，若p假：则a≤0或a≥1，
命题q：对任何x∈R，都有x²+4ax+1≥0，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，若q假，则a＜-$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{1}{2}$，
∵命题p与命题q中有且只有一个成立，
0＜a＜1； a＜-$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{1}{2}$，取二者交集$\frac{1}{2}$＜a＜1，
a≤0或a≥1；-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，取二者交集-$\frac{1}{2}$≤a≤0，
∴实数a的取值范围：$\frac{1}{2}$＜a＜1，或-$\frac{1}{2}$≤a≤0；
（2）命题p为真时：0＜a＜1，
∴M={a|0＜a＜1}；
命题q为真时：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
∴N={a|-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$}，
∴M∩N={a|0＜a≤$\frac{1}{2}$}；
∴x∈M或x∈N”是“x∈（M∩N）”的必要不充分条件．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．