Question

10．已知sinβ=msin（2α+β），其中m≠1，α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．求证：tan（α+β）=$\frac{1+m}{1-m}$tanα

Answer 1

分析 由条件利用两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，证得要证的等式成立．

解答 证明：∵m≠1，α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$，α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，sinβ=msin（2α+β），
∴sin[（α+β）-α]=msin[（α+β）+α]，
即 sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=msin（α+β）cosα+mcos（α+β）sinα，
∴（1-m）sin（α+β）cosα=（m+1）cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=$\frac{1+m}{1-m}$tanα 成立．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．