Question

2．已知在数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．对于这个数列的递推公式作一研究，能否得出它的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n=2a_n-1+3a_n-2可知a_n+2+a_n+1=3a_n+1+3a_n，进而数列{a_n+1+a_n}是以7为首项、3为公比的等比数列，从而a_n+1-$\frac{7}{4}$•3ⁿ=-（a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1），进而数列{a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1}是以$\frac{13}{4}$为首项、-1为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3a_n-2，
∴a_n+2+a_n+1=3a_n+1+3a_n，
又∵a₁+a₂=5+2=7，
∴数列{a_n+1+a_n}是以7为首项、3为公比的等比数列，
∴a_n+1+a_n=7•3^n-1，
∴a_n+1-$\frac{7}{4}$•3ⁿ=-（a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1），
又∵a₁-$\frac{7}{4}$•3^1-1=5-$\frac{7}{4}$=$\frac{13}{4}$，
∴数列{a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1}是以$\frac{13}{4}$为首项、-1为公比的等比数列，
∴a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1=（-1）^n-1•$\frac{13}{4}$，
∴a_n=（-1）^n-1•$\frac{13}{4}$+$\frac{7}{4}$•3^n-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．