Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{a}$•a_n²（a＞0），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对等式a_n+1=$\frac{1}{a}$•a_n²（a＞0）两边同时取对数可知log_aa_n+1=2log_aa_n-1，进而-1+log_aa_n+1=2（-1+log_aa_n），从而数列{-1+log_aa_n}是以-1为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{a}$•a_n²（a＞0），
∴log_aa_n+1=log_a（$\frac{1}{a}$•a_n²）=log_a$\frac{1}{a}$+log_a${{a}_{n}}^{2}$=2log_aa_n-1，
∴-1+log_aa_n+1=log_a（$\frac{1}{a}$•a_n²）=log_a$\frac{1}{a}$+log_a${{a}_{n}}^{2}$=2（-1+log_aa_n），
又∵-1+log_aa₁=-1+log_a1=-1，
∴数列{-1+log_aa_n}是以-1为首项、2为公比的等比数列，
∴-1+log_aa_n=-2^n-1，
∴log_aa_n=1-2^n-1，
∴a_n=${a}^{1-{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．