Question

6．在△ABC中，已知|AB|=4$\sqrt{2}$，且三个内角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，建立直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

Answer 1

分析 以AB的中点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，利用正弦定理得：2a+c=2b，可得C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的右支，即可求顶点C的轨迹方程．

解答 解：以AB的中点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
因为2sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得：2a+c=2b，
又c=|AB|=4$\sqrt{2}$，所以b-a=$\frac{1}{2}$c=2$\sqrt{2}$，即|CA|-|CB|=2$\sqrt{2}$，
所以C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的右支，
则2a′=|CA|-|CB|=2$\sqrt{2}$，2c′=|AB|=4$\sqrt{2}$
所以a^′2=2，c^′2=8，b^′2=c^′2-a^′2=6，
所以C点轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$（x＞0）．

点评 本题考查双曲线的定义与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．