Question

18．已知a₁=1，a_n+1=pa_n-n-1（p∈R，n∈N^*）
（1）当p=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n-n-2，若数列{b_n}为等比数列，求p的值．

Answer 1

分析 （1）当p=1时，得到a_n+1-a_n=n-1，利用累加法即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n-n-2，根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可得到结论．

解答 解：（1）当p=1时，a_n+1=a_n-n-1，
即a_n+1-a_n=n-1，
则a₂-a₁=0，
a₃-a₂=1，
a₄-a₃=2，
…
a_n-a_n-1=n-2，
等式两边同时相加得
a_n-a₁=0+1+2+…+（n-2）=$\frac{（n-1）（0+n-2）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-3n+2}{2}$，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}-3n+2}{2}$+1=$\frac{{n}^{2}-3n+4}{2}$；
（2）∵a_n+1=pa_n-n-1，
∴a_n+1-（n+1）-2=pa_n-n-1-（n+1）-2=pa_n-2n-4=2（$\frac{p}{2}$a_n-n-2），
若数列{b_n}为等比数列，则$\frac{p}{2}$=1，即p=2．

点评 本题主要考查递推数列的应用，利用列举法求数列的通项公式，以及结合等比数列的定义和性质是解决本题的关键．