Question

10．设等比数列{a_n}的a₃+a₅=30，且a₁a₇=81，求通项a_n．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比是q，由等比数列的性质得a₁a₇=a₃a₅，结合条件求出a₃、a₅的值，由等比数列的通项公式求出q²、a₁，再分别求出a_n．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比是q，
由等比数列的性质得，a₁a₇=a₃a₅=81，
因为a₃+a₅=30，所以a₃、a₅是方程x²-30x+81=0的两个根，
解得a₃=3、a₅=27或a₃=27、a₅=3，
所以q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=9或$\frac{1}{9}$，解得q=±3或±$\frac{1}{3}$，
由a₃=a₁q²=3得，a₁=$\frac{1}{3}$或27，
所以a_n=$\frac{1}{3}•{3}^{n-1}$=3^n-2或$\frac{1}{3}•{（-3）}^{n-1}$=（-1）^n-1•3^n-2，
或a_n=27•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n-4}}$或27•$\frac{1}{{（-3）}^{n-1}}$=$\frac{（-1）^{n-1}}{{3}^{n-4}}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式、性质的应用，以及分类讨论思想，化简、计算能力．