Question

19．已知数列{a_n}中，a_n ＞0，S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n +$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n +$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n可知${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+1=0，从而${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+${{S}_{n}}^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$，进而数列{${{S}_{n}}^{2}$}是首项、公差均为1的等差数列，利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论．

解答 解：依题意，易知a₁=1，
∵a_n +$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n，
∴${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+1=0，
∴${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+${{S}_{n}}^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$，
∴$（{S}_{n}-{a}_{n}）^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$，
即${{S}_{n-1}}^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$（n≥2），
又∵${{S}_{1}}^{2}$=1，
∴数列{${{S}_{n}}^{2}$}是首项、公差均为1的等差数列，
∴${{S}_{n}}^{2}$=n，
∴S_n=$\sqrt{n}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．