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若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f(
x
y
)=f(x)-f(y).
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(
1
3
)<2.
分析:(Ⅰ)在f(
x
y
)=f(x)-f(y)中,令x=y=1,能求出f(1).
(Ⅱ)由f(6)=1,知f(x+3)-f(
1
3
)<2=f(6)+f(6),故f(
x+3
2
)<f(6),再由f(x)是(0,+∞)上的增函数,能求出不等式f(x+3)-f(
1
3
)<2的解集.
解答:解:(Ⅰ)在f(
x
y
)=f(x)-f(y)中,
令x=y=1,得f(1)=f(1)-f(1),
∴f(1)=0.
(Ⅱ)∵f(6)=1,
∴f(x+3)-f(
1
3
)<2=f(6)+f(6),
∴f(3x+9)-f(6)<f(6),
即:f(
x+3
2
)<f(6),
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,
x+3
2
>0
x+3
2
<6
.解得-3<x<9.
故不等式f(x+3)-f(
1
3
)<2的解集为(-3,9).
点评:本题考查抽象函数的函数值的解法,考查不等式的解法.解题时要认真审题,注意抽象函数的性质的灵活运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数.
(1)试证明对?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是区间(-1,1)5上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

14、下列命题中:
①若函数f(x)的定义域为R,则g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数;
②若f(x)是定义域为R的奇函数,对于任意的x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
③已知x1,x2是函数f(x)定义域内的两个值,且x1<x2,若f(x1)>f(x2),则f(x)是减函数;
④若f (x)是定义在R上的奇函数,且f (x+2)也为奇函数,则f (x)是以4为周期的周期函数.
其中正确的命题序号是
①④

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知下列命题四个命题:
①若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0)上是增函数,θ∈(
π
4
π
2
)
,则f(sinθ)>f(cosθ);
②在△ABC中,A>B是cosA<cosB的充要条件;
③设函数f(x)=x2+2(-2≤x<0),其反函数为f-1(x),则f-1(3)=-1或1.
④在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b2+c2=a2+bc,则A=
π
3

其中真命题的个数有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则不等式f(2x-1)<f(
13
)
的解集为
 

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