Question

已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l．
（1）若

OC

=λ

OA

+

2

3

OB

（λ∈R），则λ=

 

；
（2）已知实数x满足关系式x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，有下列命题：
①

OB2

-

OC

•

OA

≥0；
②

OB2

-

OC

•

OA

＜0；
③x的值有且只有一个；
④x的值有两个；
⑤点B是线段AC的中点．
则正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）由共线向量定理得，

AC

=k

AB

（k为实数），），即

OC

=（1-k）

OA

+k

OB

，即可求出λ；
（2）由（1）得，-x²-2x=1，解得x=-1．可判断③、④；代入x，可判断⑤；两边平方，应用向量的数量积的性质，即可判断①、②．

解答： 解：（1）∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，
∴

AC

=k

AB

（k为实数），
即

OC

-

OA

=k（

OB

-

OA

），即

OC

=（1-k）

OA

+k

OB

，
由

OC

=λ

OA

+

2

3

OB

（λ∈R），得λ=1-

2

3

=

1

3

，
（2）由于实数x满足关系式x²

OA

+2x

OB

+

OC

=

0

，
即

OC

=-x²

OA

-x

OB

，
∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，
∴-x²-2x=1，解得x=-1．
则③正确，④错误．
此时

OB

=

1

2

（

OA

+

OC

），故⑤正确；

OB

2=

1

4

（

OA

+

OC

）²=

1

4

（

OA

2+

OC

2+2

OA

•

OC

）≥

1

4

（2|

OA

|•|

OC

|+2

OA

•

OC

）
≥

1

4

×4

OA

•

OC

═

OA

•

OC

，从而①正确，②错误．
故答案为：

1

3

，①③⑤

点评：本题平面向量及应用，考查向量的共线与点共线的关系，向量的数量积的性质，属于中档题．