Question

定义在R上的函数f（x）=

log 1 2 |x-2|   ，  x≠2 1，      x=2

，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：画出f（x）的图象，由图象可知，令f（x）=t，则t²+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为1，由于y=log

1

2

|x-2|的图象关于直线x=2对称，且其中一个解为2，即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，再由对数的运算性质即可得到答案．

解答： 解：画出f（x）的图象，
由于关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，令f（x）=t，则t²+bt+c=0有两个不等的实数根，
且其中一个为1，
画出直线y=m（m≠1），y=1，
得到5个交点，其横坐标为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
设x₃=2，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
由于y=log

1

2

|x-2|的图象关于直线x=2对称，
则x₁+x₅=x₂+x₄=4，
即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（10）=log

1

2

|10-2|=log

1

2

8=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的对称性，以及数形结合的思想方法，同时考查对数的运算，属于中档题．