Question

已知函数f（x）=|2^x-a|+a，g（x）=2^|x-a|，若?s∈[0，2]，?t∈R，使f（s）•g（t）=4，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  5

  2

  ]
• B、（-∞，1]∪（2，

  5

  2

  ]
• C、（-∞，4）
• D、（-∞，1]∪（2，4）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：g（x）∈[1，+∞），则s∈[0，2]，f（s）=

4

g(t)

∈（0，4]，问题转化为s∈[0，2]，f（s）∈（0，4]恒成立，分类讨论，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：∵g（x）∈[1，+∞），
∴s∈[0，2]，f（s）=

4

g(t)

∈（0，4]，
问题转化为s∈[0，2]，f（s）∈（0，4]恒成立，
∵s∈[0，2]，
∴1≤2^s≤4，
①a＜1时，f（s）=2^s∈[1，4]⊆（0，4]，满足要求；
②1≤a≤4时，由0＜|2^s-a|+a≤4，∴|2^s-a|≤4-a，
∴a-4≤2^s-a≤4-a，
∴a≤

2s+4

2

?s∈[0，2]恒成立，
∴1≤a≤

5

2

；
③a＞4时，f（x）=|2^s-a|+a＞4不满足要求，
∴a≤

5

2

．
故选：A．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．