Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=a_n+2n，设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，若存在正整数T，使得对一切n∈N^*，b_n≥T恒成立，则T的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 利用累加法求出数列的通项公式，再根据基本不等式求出b_n的范围，即可求出T的范围．

解答 解：∵a_n+1=a_n+2n，
∴a_n+1-a_n=2n，
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=4，
…
a_n-a_n-1=2（n-1），
累加可得a_n-a₁=2（1+2+3+…+n-1）=n（n-1），
∴a_n=n（n-1）+4，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=n-1+$\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$-1=4-1=3，当且仅当n=2时取等号，
∴T≤3，
∴T的最大值为3，
故选：D

点评 本题考查了数列的递推关系式和通项公式的求法和基本不等式的应用，属于中档题