Question

某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y（万元）随医疗总费用x（万元）增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．
（1）请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05（x²+4x+8）作为报销方案；
（2）若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a（a为常数）作为报销方案，请你确定整数a的值．（参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3）

Answer 1

解：（1）函数y=0.05（x²+4x+8）在[2，10]上是增函数，满足条件①，
当x=10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③．…
但当x=3时，y=＜，即y≥不恒成立，不满足条件②，
故该函数模型不符合该单位报销方案．
（2）对于函数模型y=x-2lnx+a，设f（x）=x-2lnx+a，则f′（x）=1-=≥0．
所以f（x）在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x-2lnx+a≥，即a≥2lnx-在x∈[2，10]上恒成立，
令g（x）=2lnx-，则g′（x）==，由g′（x）＞0得x＜4，
∴g（x）在（0，4）上增函数，在（4，10）上是减函数．
∴a≥g（4）=2ln4-2=4ln2-2．
由条件③，得f（10）=10-2ln10+a≤8，解得a≤2ln10-2．
另一方面，由x-2lnx+a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，
∴a≤2ln2，
综上所述，a的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1．
分析：（1）利用函数模型y=0.05（x²+4x+8），验证三个条件，即可得到结论；
（2）利用函数模型y=x-2lnx+a（a为常数），结合三个条件，即可确定整数a的值．
点评：本题考查函数模型的建立与运用，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．