已知、
是抛物线
(
>0)上异于原点
的两点,则“
=0”是“直线
恒过定点(
)”的( )
A.充分非必要条件 | B.充要条件 |
C.必要非充分条件 | D.非充分非必要条件 |
B
解析解:由推“直线AB恒过定点(2p,0)”
设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
(I)当直线l有存在斜率时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0.
联立方程得:消去y得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,
故直线l的方程为:y=kx-2pk=k(x-2p),故直线过定点(2p,0)
(II)当直线l不存在斜率时,设它的方程为x=m,显然m>0
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2
可知直线l方程为:x=2,故直线过定点(2,0)
综合(1)(2)可知,满足条件的直线过定点(2,0).
由“直线AB恒过定点(2p,0)”推
设l:x=ty+2p代入抛物线y2=2px消去x得,
y2-2pty-4p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=2pt,y1y2=-4p2
∴=x1x2+y1y2=(ty1+2p)(ty2+2p)+y1y2
=t2y1y2+2pt(y1+y2)+4p2+y1y2
=-4p2t2+4p2t2+4p2-4p2=0.
∴是“直线AB恒过定点(2p,0)”的充要条件.
故选B.
科目:高中数学 来源: 题型:单选题
一圆形纸片的圆心为原点O,点Q是圆外的一定点,A是圆周上一点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后展开纸片,折痕CD与OA交于P点,当点A运动时P的轨迹是
A.椭圆 | B.双曲线 | C.抛物线 | D.圆 |
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科目:高中数学 来源: 题型:单选题
已知△ABC的周长为20,且顶点B (0,-4),C (0,4),则顶点A的轨迹方程是 ( )
A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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