Question

已知命题p：存在实数a使函数f（x）=x²-4ax+4a²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2；命题q：存在实数a，使函数f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是关于x的减函数．若“p∧q为假”且“p∨q为真”，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得命题p和命题q中，一个为真，另一个为假． 当命题p为真时，由f（x）=（x-2m）²+2在区间[-1，3]上的最小值为2，可得即 -

1

2

≤a≤

3

2

．当命题q为真时，可得a＞1．分命题p为真、命题q为假以及命题p为假、命题q为真，两种情况，分别求出实数a的取值范围，再取并集即得所求．

解答：解：由题意可得命题p和命题q中，一个为真，另一个为假．
f（x）=（x-2m）²+2在区间[-1，3]上的最小值 [f(x)]min=

f(-1)＞2    ，(2a＜-1) f(2a)=2   ，(-1≤2a≤3) f(3)＞2      ，(2a＞3)

，
于是，命题p是真命题，等价于-1≤2a≤3，即 -

1

2

≤a≤

3

2

．
由函数f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是关于x的减函数，由复合函数的单调性可得 a＞1．
当命题p为真、命题q为假时，-

1

2

≤a≤1．
当命题p为假、命题q为真时，a＞

3

2

．
综上可得，实数a的取值范围为[-

1

2

，1]∪（

3

2

，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数在闭区间上的最值问题，复合命题的真假，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．