Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PB⊥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC，设AC交BD于O，连结EO，

∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点，

又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO，

∵EO平面BDE，PA平面BDE，

∴PA∥平面EO

（2）证明：PD⊥底面ABCD，BC底面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，

∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，

∵DE平面PDC，∴BC⊥DE，

∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，

∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，

又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE平面DEF，EF平面DEF，

∴PB⊥平面DEF．

【解析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．