Question

【题目】已知函数f（x）=2x+m21﹣x ．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的图象关于点A（a，0）对称，若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由．
注：点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）的中点坐标为（ ， ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为实数集R

因为函数为奇函数

故f（﹣x）=﹣f（x），

所以f（0）=1+2m=0，即m=﹣ ，

此时f（x）=2x﹣2﹣x．

函数为奇函数满足题意

故m=﹣

（2）解：解法一：

任取设1＜x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）

=（ ）（ ）＜0对任意满足1＜x1＜x2恒成立

因为 ＜0，且 ，

故2m≤4，即m≤2；

解法二：若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，

则f′（x）=ln22x﹣ln2m21﹣x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，

即m≤22x﹣1在区间（1，+∞）上恒成立，

令y=22x﹣1，则在区间（1，+∞）上y＞22﹣1=2恒成立，

故m≤2

（3）解：假设存在满足条件的实数a

在函数f（x）图象上任取一点M（x1，y1），关于A（a，0）对称点为N（x2，y2）

则 =a， =0，

即x2=2a﹣x1，y2=﹣y1，

即有f（x1）+f（2a﹣x1）=0恒成立

（注：没有推导过程的，只有结论的不给分）

即（ ）+ =0，

化简得：（22a+2m）（ + ）=0

∵ + ＞0恒成立，

故有：22a+2m=0，

当m≥0时，方程无解，故不存在

当m＜0时，a= ，

综上所述：①当m≥0时，不存在实数a，使得函数f（x）图象关于点A（a，0）对称

②当m＜0时，存在实数a= ，使得得函数f（x）图象关于点A（a，0）对称

【解析】（1）由函数f（x）为奇函数，f（0）=0，解得实数m的值；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，
解法一：f（x1）﹣f（x2）＜0对任意满足1＜x1＜x2恒成立，解得实数m的取值范围；
解法二：f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，解得实数m的取值范围；（3）假设存在满足条件的实数a，则有有f（x1）+f（2a﹣x1）=0恒成立，则有：22a+2m=0，进而可得满足条件的答案．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．