Question

【题目】（本小题满分12分）

已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且， 平面， ，设为的中点。

（Ⅰ）求证： 平面

（Ⅱ）点在线段上，且平面，

求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)略 （2）

【解析】试题分析：证明线面垂直只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直；求二面角有两种方法：一是先做再证，最后求出，是一种传统方法，另一种是建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角,本题采用第二种方法.

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为已知该四棱柱为直四棱柱，且为等边三角形， ，所以平面，而平面，故,又因为的三边长分别为，所以为等腰直角三角形

所以，结合， ,所以 平面

（Ⅱ）解：取中点，则由为等边三角形知，从而

以D为原点，以为坐标轴，建立如图所示的坐标系，

此时,，设

由上面的讨论知平面的法向量为

由于平面，故平面

故，故

设平面的法向量为，

由知，取，故

设平面和平面所成锐角为，则

即平面和平面所成锐角的余弦值为.