Question

【题目】(本小题满分12分)

已知函数，函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若，求证：不等式： .

Answer 1

【答案】(1)略（2） （3）略

【解析】试题分析：对函数求导，讨论，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数

判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出的范围；借助第二步的结论，证明不等式.

试题解析：

（Ⅰ） ，

当时，增区间，无减区间

当时，增区间，减区间

（Ⅱ）

即在上恒成立

设，考虑到

，在上为增函数

， 当时，

在上为增函数， 恒成立

当时， ， 在上为增函数

，在上， ， 递减，

，这时不合题意，

综上所述，

（Ⅲ）要证明在上，

只需证明

由（Ⅱ）当a=0时，在上， 恒成立

再令

在上， ， 递增，所以

即，相加，得

所以原不等式成立.