Question

【题目】设函数，其中.

（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（2）若成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，函数在上有唯一极值点；

当时，函数在上无极值点；

当时，函数在上有两个极值点；

（Ⅱ）的取值范围是.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求，令

通过对的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围.

试题解析：函数的定义域为

令，

（1）当时， ， 在上恒成立

所以，函数在上单调递增无极值；

（2）当时，

①当时， ，

所以， ，函数在上单调递增无极值；

②当时，

设方程的两根为

因为

所以，

由可得：

所以，当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减；

当时， ，函数单调递增；

因此函数有两个极值点．

（3）当时，

由可得：

当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减；

因此函数有一个极值点．

综上：

当时，函数在上有唯一极值点；

当时，函数在上无极值点；

当时，函数在上有两个极值点；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

（1）当时，函数在上单调递增，

因为

所以， 时， ，符合题意；

（2）当时，由，得

所以，函数在上单调递增，

又，所以， 时， ，符合题意；

（3）当时，由，可得

所以时，函数单调递减；

又

所以，当时， 不符合题意；

（4）当时，设

因为时，

所以在上单调递增，

因此当时，

即：

可得：

当时，

此时， 不合题意.

综上所述， 的取值范围是