【题目】(1)求证:椭圆中斜率为
的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心;
(2)用作图方法找出下面给定椭圆的中心;
(3)我们把由半椭圆与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”,其中
,
,
.如图,设点
,
,
是相应椭圆的焦点,
,
和
,
是“果圆” 与
,
轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数
,使斜率为
的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的
值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)作图见解析;(3)存在,
【解析】
(1)根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为,显然直线经过椭圆中心原点;
(2)由(1)知,平行弦的中点轨迹必过椭圆中心,所以作出两组平行弦的中点轨迹所在直线,两条直线的交点即为椭圆的中心;
(3)由(1)的结论可知,.设出直线
和弦的中点坐标,即可求得中点所在的轨迹方程为椭圆方程.当
或
时,平行弦的轨迹可以在直线上,不总在椭圆上.
(1)证明:设斜率为的直线与椭圆交于点
两点,
.
中点坐标为
,所以
,
所以,
,作差得,
,
即有,即
,再根据中点在椭圆内部,所以
,即
,解得
.
故平行弦的中点的轨迹方程为,
,
所以椭圆中斜率为
的平行弦的中点轨迹过椭圆中心.
(2)如图所示,点即为椭圆中心.
(3)由(1)的结论可知,.
设交“果圆”于
两点,中点为
,则
,
,则
,即
.
易证,
当或
时,“果圆”的平行弦的轨迹可以在直线上,不总在椭圆上.
所以,当时,“果圆”的平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的倾斜角为
,且经过点
.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
,从原点O作射线交
于点M,点N为射线OM上的点,满足
,记点N的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线C交于P,Q两点,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,
为坐标原点,点
到直线
的距离为
,
为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率之和为
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知在中,
,且
.
(1)求角的大小;
(2)设数列满足
,前
项和为
,若
,求
的值.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合三角形内角和为可得
.由余弦定理可得
,,结合勾股定理可知
为直角三角形,
,
.
(2)结合(1)中的结论可得
.则
,
据此可得关于实数k的方程
,解方程可得
,则
或
.
试题解析:
(1)由已知,又
,所以
.又由
,
所以,所以
,
所以为直角三角形,
,
.
(2)
.
所以
,
由
,得
,所以
,所以
,所以
或
.
【题型】解答题
【结束】
18
【题目】已知点是平行四边形
所在平面外一点,如果
,
,
.(1)求证:
是平面
的法向量;
(2)求平行四边形的面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校在高二年级学生中,对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高二年级学生中随机抽取180名学生,其中男生105名;在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.
(1)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下面的2×2列联表.
(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关?
选择自然科学类 | 选择社会科学类 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
参考公式:,其中
.
P(K2≥k0) | 0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点和椭圆
. 直线
与椭圆
交于不同的两点
.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率;
(Ⅱ) 当时,求
的面积;
(Ⅲ)设直线与椭圆
的另一个交点为
,当
为
中点时,求
的值 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法,AQI指数与空气质量对应如表所示:
AQI | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | 300以上 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图:
根据统计图判断,下列结论正确的是( )
A. 整体上看,这个月的空气质量越来越差
B. 整体上看,前半月的空气质量好于后半个月的空气质量
C. 从AQI数据看,前半月的方差大于后半月的方差
D. 从AQI数据看,前半月的平均值小于后半月的平均值
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的序号是_____.
①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF的面积与△BEF的面积相等.④三棱锥A﹣BEF的体积为定值
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com