Question

设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．
（1）求证：数列（）为等比数列；
（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；
（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.

Answer 1

(1)证明见解析；(2)；(3)．

试题分析：(1)把已知条件变形为，要化为数列项的关系，一般方法是用代得，两式相减，得，从而得前后项比为常数，只是还要注意看看是不是有，如有则可证得为等比数列；(2)由定义可知数列是等差数列，(是数列公差)，从而数列也是等差数列，其前和易得，这说明我们在求数列和时，最好能确定这个数列是什么数列；(3)首先无穷等比数列的和存在说明公比满足，从而得出，无穷等比数列的和公式得，这是一次分式函数，其值域采用分离分式法，即，易得．
试题解析：（1）由已知，有，
当时，；         2分
当时，有，
两式相减，得，即，
综上，，故数列是公比为的等比数列；   4分
（2）由（1）知，，则
于是数列是公差的等差数列，即，        7分
则

=        10分
（3）（理）由解得：。         12分
         14分
，当时，，函数的值域为。      16分项和与的关系，等比数列的定义；(2)等差数列的前项和；(3)无穷等比数列的和及一次分式函数的值域．