Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，且对任意正整数n，点(a_n＋1，S_n)在直线3x＋2y－3＝0上．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

（1）^n－1（2）存在实数λ＝

(1)由题意可得3a_n＋1＋2S_n－3＝0，①
n≥2时，3a_n＋2S_n－1－3＝0，②
①－②得3a_n＋1－3a_n＋2a_n＝0，∴＝ (n≥2)，
a₁＝1,3a₂＋a₁－3＝0，∴a₂＝，∴{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，∴a_n＝^n－1.
(2)由(1)知：S_n＝
若为等差数列，则S₁＋λ·1＋，S₂＋λ·2＋，S₃＋λ·3＋成等差数列，
∴2＝S₁＋λ＋S₃＋λ，解得λ＝.
又λ＝时，S_n＋·n＋＝，显然成等差数列，故存在实数λ＝，使得数列成等差数列