【题目】已知函数 (m>0)的最大值为2.
(1)求函数,f(x)在[0,π]上的单调递减区间;
(2)△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,C=60°,c=3,且 ,求△ABC的面积.
【答案】
(1)解:f(x)=msinx+ cosx=
sin(x+θ)(其中sinθ=
,cosθ=
),
∴f(x)的最大值为 ,
∴ =2,
又m>0,∴m= ,
∴f(x)=2sin(x+ ),
令2kπ+ ≤x+
≤2kπ+
(k∈Z),解得:2kπ+
≤x≤2kπ+
(k∈Z),
则f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[ ,π]
(2)解:设△ABC的外接圆半径为R,由题意C=60°,c=3,得 =
=
=
=2
,
化简f(A﹣ )+f(B﹣
)=4
sinAsinB,得sinA+sinB=2
sinAsinB,
由正弦定理得: +
=2
×
,即a+b=
ab①,
由余弦定理得:a2+b2﹣ab=9,即(a+b)2﹣3ab﹣9=0②,
将①式代入②,得2(ab)2﹣3ab﹣9=0,
解得:ab=3或ab=﹣ (舍去),
则S△ABC= absinC=
【解析】:(1)将f(x)解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域表示出f(x)的最大值,由已知最大值为2列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,进而确定出f(x)的解析式,由正弦函数的递减区间为[2kπ+ ,2kπ+
](k∈Z),列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到f(x)在[0,π]上的单调递减区间;(2)由(1)确定的f(x)解析式化简f(A﹣
)+f(B﹣
)=4
sinAsinB,再利用正弦定理化简,得出a+b=
ab①,利用余弦定理得到(a+b)2﹣3ab﹣9=0②,将①代入②求出ab的值,再由sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的余弦公式和两角和与差的正弦公式,掌握两角和与差的余弦公式:;两角和与差的正弦公式:
即可以解答此题.
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【题目】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
男 | 女 | |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例。
(2)能否在犯错误的概率不超过百分之一的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某玩具所需成本费用为P元,且P=1 000+5x+x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+
(a,b∈R),
(1)问:玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?
(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本).
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【题目】为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选20名女生作为样本,测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间,
,
,
进行分组,得到频率分布直方图如图所示,已知样本中体重在区间
上的女生数与体重在区间
上的女生数之比为
.
(1)求的值;
(2)从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人,求体重在区间
上的女生至少有一人被抽中的概率.
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【题目】2016年入冬以来,各地雾霾天气频发,频频爆表(
是指直径小于或等于2.5微米的颗粒物),各地对机动车更是出台了各类限行措施,为分析研究车流量与
的浓度是否相关,某市现采集周一到周五某一时间段车流量与
的数据如下表:
时间 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
车流量 | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
| 69 | 70 | 74 | 78 | 79 |
(1)请根据上述数据,在下面给出的坐标系中画出散点图;
(2)试判断与
是否具有线性关系,若有请求出
关于
的线性回归方程
,若没有,请说明理由;
(3)若周六同一时间段的车流量为60万辆,试根据(2)得出的结论,预报该时间段的的浓度(保留整数).
参考公式:
,
.
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【题目】已知圆C:(x﹣1)2+y2=16,F(﹣1,0),M是圆C上的一个动点,线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)记点P的轨迹为C1 , A、B是直线x=﹣2上的两点,满足AF⊥BF,曲线C1与过A,B的两条切线(异于x=﹣2)交于点Q,求四边形AQBF面积的取值范围.
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【题目】下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;②用相关指数可以刻画回归的效果,值越小说明模型的拟合效果越好;③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和大小,残差平方和越小的模型拟合效果越好.其中说法正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 为参数).
(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换 得到曲线C′,设曲线C′上任一点为M(x,y),求
的最小值.
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