Question

命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅；命题q：函数y=（2a²-a）^x为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
（1）p、q至少有一个是真命题；
（2）p或q是真命题且p且q是假命题．

Answer 1

考点：复合命题的真假,命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）首先，当p命题为真命题时，满足△=（a-1）²-4a²＜0，解得a＜-1或a＞

1

3

；当q命题为真命题时，满足2a²-a＞1，解得a＜-

1

2

或a＞1，p，q至少一个为真命题，即这两个范围的并集，从而得到结果；
（2）结合p或q是真命题且p且q是假命题，得到p，q为一个真命题，一个为假命题，然后，讨论完成即可．

解答： 解：当p命题为真命题时，得
△=（a-1）²-4a²＜0，
∴a＜-1或a＞

1

3

，
当q命题为真命题时，得
2a²-a＞1，
∴a＜-

1

2

或a＞1，
（1）p，q至少一个为真命题，即上面两个范围的并集，为
a＜-

1

2

或a＞

1

3

，
∴p、q至少有一个是真命题，实数a的取值范围（-∞-

1

2

）∪（

1

3

，+∞），
（2）∵p或q是真命题且p且q是假命题，
∴p，q为一个真命题，一个为假命题，
若p为真命题，q为假命题时，
得

1

3

＜a≤1，
若q为真命题，p为假命题时，
得-1≤a＜-

1

2

，
∴p或q是真命题且p且q是假命题，实数a的取值范围[-1，-

1

2

）∪（

1

3

，1]．

点评：本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真值表等知识，属于中档题．