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要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素¹⁴C的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的¹⁴C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，¹⁴C不再产生，且原有的¹⁴C含量的衰变经过5570年（¹⁴C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半．若¹⁴C的原始含量为a，则经过x年后的残余量a′与a之间满足a′=a•e^-kx．
（1）求实数k的值；
（2）测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）．

【答案】分析：（1）根据a′=a•e^-kx，原有的¹⁴C含量的衰变经过5570年（¹⁴C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半，建立等式，可求实数k的值；
（2）古墓中女尸¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，建立方程，可推算马王堆古墓的年代．
解答：解：（1）由题意可知，当x=5570时，

，
∵a′=a•e^-kx，∴

=e^-5570k，
∴k=

．
（2）∵古墓中女尸¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，
∴

，即0.767=

，
解得x≈2132．
∴由此可推测古墓约是2100多年前的遗址．
点评：本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

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（2012•黄浦区一模）要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素¹⁴C的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的¹⁴C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，¹⁴C不再产生，且原有的¹⁴C含量的衰变经过5570年（¹⁴C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半．若¹⁴C的原始含量为a，则经过x年后的残余量a′与a之间满足a′=a•e^-kx．
（1）求实数k的值；
（2）测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）．

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科目：高中数学 来源：2011-2012学年上海市黄浦区高三上学期期终基础学业测评理科数学试卷 题型：解答题

(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

　　要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的含量的衰变经过5570年(的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半．若的原始含量为，则经过年后的残余量与之间满足．