Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线经过点P(1,1),倾斜角．

（1）写出直线的参数方程；

（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）2

【解析】本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中用根与系数的关系，设而不求的思想方法．

（I）设出直线l上任意一点Q，利用直线斜率的坐标公式可得到坐标的关系：（y-1）：（x-1）=1：，再令x-1= t，以t为参数，可以得到直线l的参数方程；

（II）将圆ρ=2化成普通方程，再与直线的参数方程联解，得到一个关于t的一元二次方程．再用一元二次方程根与系数的关系，结合两点的距离公式，可得出P到A、B两点的距离之积．

解：（I）直线的参数方程是

---5分

（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t₁和t₂,则点A,B的坐标分别为．

圆化为直角坐标系的方程．

以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到

          ①

因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．

所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2．            -----------------（12分）