Question

已知函数f（x）=x³+x（x∈R），当0＜θ≤

π

2

时，f（msinθ）+f（sinθ-sin²θ-2）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，2

  2

  -1）
• B、（-∞，2

  2

  ）
• C、（-∞，3）
• D、（-∞，2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：通过求f′（x）容易判断f（x）在R上是增函数，而f（x）又是奇函数，所以可以得到0＜θ≤

π

2

时，sin²θ-（m+1）sinθ+2＞0恒成立．所以设sinθ=t，g（t）=t²-（m+1）t+2，所以便有对任意t∈（0，1]，g（t）＞0恒成立，所以讨论g（t）对称轴t=

m+1

2

的取值情况，根据二次函数的单调性及取得顶点情况即可求出满足g（t）＞0恒成立时的m的取值范围．

解答： 解：显然f（x）为奇函数；
∵f′（x）=3x²+1＞0；
∴f（x）在R上为增函数；
∴由f（msinθ）+f（sinθ-sin²θ-2）＜0得：
f（msinθ）＜f（-sinθ+sin²θ+2）；
∴msinθ＜-sinθ+sin²θ+2；
整理成：sin²θ-（m+1）sinθ+2＞0；
若设sinθ=t，则根据已知条件知：
x∈（0，1]时，t²-（m+1）t+2＞0恒成立；
设g（t）=t²-（m+1）t+2；
∴①

m+1

2

≤0，即m≤-1时，g（t）在（0，1]上单调递增，且g（0）=2＞0；
∴此时满足g（t）＞0恒成立；
②0＜

m+1

2

＜1，即-1＜m＜1时，g（t）在（0，1]上的最小值g（

m+1

2

）=

8-(m+1)2

4

＞0；
解得-2

2

-1＜m＜2

2

-1；
∴此时-1＜m＜1；
③

m+1

2

≥1，即m≥1时，g（t）在（0，1]上单调递减；
∴g（t）的最小值g（1）=2-m＞0，m＜2；
∴此时1≤m＜2；
∴综上得实数m的取值范围是（-∞，2）．
故选D．

点评：考查奇函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，换元法解决问题的方法，根据二次函数的单调性及取得顶点情况求其最小值．