Question

直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交于不同的A，B两点（其中a，b是实数），且（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，）距离的取值范围为

1. A.
   （1，+∞）
2. B.
   （）
3. C.
   （）
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设出点A、B的坐标，将直线与圆的方程联立，利用根与系数的关系即可表示出判别式△与，即可得出a、b满足的条件，进而利用两点间的距离公式即可得出．
解答：当b≠0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立，消去y得到（a²+b²）x²-2ax+1-b²=0，
∵直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交于不同的A，B两点，∴△=4a²-4（a²+b²）（1-b²）＞0，化为a²+b²＞1．（*）
由根与系数的关系得，．
∵＞0，∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又ax₁+by₁=1，ax₂+by₂=1，
∴b²y₁y₂=（1-ax₁）（1-ax₂0，
∴（b²+a²）x₁x₂-a（x₁+x₂）+1＞0，
代入得，化为a²+b²＜2．（**）
联立（*）（**）得，当b=0时也成立．
画出图象：
当P分别取（0，1），（0，-）时，|QP|取得最小值与最大值，
∴|QP|满足．
因此点P（a，b）与点（0，）距离的取值范围为．
故选D．
点评：熟练掌握直线与圆相交问题的解题模式、判别式、数量积的计算及两点间的距离公式是解题的关键．