Question

13．已知函数$f（x）={x^2}-\frac{ln|x|}{x}$，有下列四个命题：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；
③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；
④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据f（x）+f（-x）≠0，判断f（x）不是奇函数；
②根据x＞0时f（x）=x²-$\frac{lnx}{x}$，利用导数判断x∈（0，+∞）时f（x）不是单调函数；
③由②知x=x₀时f（x）在（0，+∞）上取得最小值，求证f（x₀）＞0即可；
④由根的存在性定理得出f（x）在区间（-1，-$\frac{1}{e}$）内有一个零点．

解答 解：对于①，函数$f（x）={x^2}-\frac{ln|x|}{x}$的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
任取定义域内的x，有f（-x）=x²+$\frac{ln|x|}{x}$，
且f（x）+f（-x）=2x²≠0，
∴f（x）不是奇函数，①错误；
对于②，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{lnx}{x}，x＞0}\\{{x}^{2}-\frac{ln（-x）}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
当x＞0时，f（x）=x²-$\frac{lnx}{x}$，
f′（x）=2x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=2x³-1+lnx，则h（1）=1＞0，
h（${（\frac{1}{2}）}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{1}{3}$ln$\frac{1}{2}$＜0；
∴存在x₀∈（${（\frac{1}{2}）}^{\frac{1}{3}}$，1），使h（x₀）=0；
∴x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；
x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
∴②错误；
对于③，由②知，当x=x₀时，f（x）在（0，+∞）上有最小值，
且2${{x}_{0}}^{3}$+lnx₀-1=0，∴$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$-2${{x}_{0}}^{2}$，
则x=x₀时，y=${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$=3${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$，
由${（\frac{1}{2}）}^{\frac{1}{3}}$＜x₀＜1，得$\frac{1}{2}$＜${{x}_{0}}^{3}$＜1，
∴$\frac{3}{2}$＜3${{x}_{0}}^{3}$＜1，
则3${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{3x}_{0}}^{3}-1}{{x}_{0}}$＞0，
∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，③正确；
对于④，当x＜0时，f（x）=x²+$\frac{ln（-x）}{x}$，
且f（-1）=1＞0，f（-$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-e＜0，
∴函数f（x）在区间（-1，-$\frac{1}{e}$）内有一个零点，④正确；
综上，正确的命题是③④．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质和导数的综合应用问题，也考查了零点的概念与应用问题，是难题．