Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；

（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；

则 =（1，1，0）， =（0，0，1）， =（1，﹣1，0），

所以 =0， =0；

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，

故PQ⊥平面DCQ，

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；

（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），

=（1，0，0）， =（﹣1，2，﹣1）；

设 =（x，y，z）是平面的PBC法向量，

则 即 ，

因此可取 =（0，﹣1，﹣2）；

设 是平面PBQ的法向量，则 ，

可取 =（1，1，1），

所以cos＜ ， ＞=﹣ ，

故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣ ．

【解析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出 、 、 的坐标，由向量积的运算易得 =0， =0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、 、 的坐标，进而求出平面的PBC的法向量 与平面PBQ法向量 ，进而求出cos＜ ， ＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定和向量语言表述面面的垂直、平行关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证;要证，只需证，即证．