Question

（2006•重庆一模）已知函数f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b．
（I）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．

Answer 1

分析：把函数解析式括号中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（I）把a=1代入化简后的函数解析式中，根据正弦函数在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]时单调递增，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；
（II）由x的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，根据a小于0，由正弦函数的最大值及最小值表示出函数的最大值及最小值，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，进而求出a+b的值．

解答：解：f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b
=a（cosx+1+sinx）+b
=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，（2分）
（I）当a=1时，f（x）=

2

asin（x+

π

4

）+1+b，
∴当2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（x）是增函数，
解得：2kπ-

3

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]（k∈Z）；（7分）
（II）由0≤x≤π，得到

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，（9分）
∵a＜0，∴当sin（x+

π

4

）=1时，f（x）取最小值，即

2

a+a+b=3①，
当sin（x+

π

4

）=-

2

2

时，f（x）取最大值4，即b=4，
将b=4代入①式，解得a=1-

2

，
则a+b=5-

2

．（13分）

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．