Question

（2006•重庆一模）已知函数f(x)=|1-

1

x

|．
（I）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f （x）的定义域和值域都是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由；
（II）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）可假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；
（II）由题意，由函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（I）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．

解答：解：（I）不存在实数a，b满足条件．
假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0
又f（x）=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

（1）当a，b∈（0，1）时，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上为减函数，
故有

f(a)=b f(b)=a

，即

1 a -1=b 1 b -1=a

由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．
（2）当a，b∈（1，+∞）时，f(x)=1-

1

x

在∈（1，+∞）上为增函数，
故有

f(a)=a f(b)=b

，即

1- 1 a =a 1- 1 b =b

由此可得a，b是方程x²-x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．
（3）当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈[a，b]，而f（1）=0∈[a，b]不可能，此时a，b也不存在
综上可知，适合条件的实数a，b不存在．
（II）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞）
∵f(x)=1-

1

x

在∈（1，+∞）上为增函数
∴

f(a)=ma f(b)=mb

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，
∴

△=1-4m＞0 m-1+1＞0 1 2m ＞1

，解之得0＜m＜

1

4

，
故实数m的取值范围是（0，

1

4

）

点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考察了绝对值函数，函数的定义域、值域构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，本题考察了分类讨论的思想，方程的思想，考察了推理判断能力，是一道综合性较强的题，思维难度大，解题时要严谨，本题易因为考虑不完善出错．