Question

数列{a_n}满足
（1）对任意n∈N+，an∈{t|t=cos

mπ

2

，m∈Z}；
（2）数列{a_n}前2009项和为-99．
（3）数列{（a_n+1）²}前2009项和为2010．则{a_n}前2009项中，取值为-1的项有（　　）

A．147个

B．148个

C．149个

D．150个

Answer 1

分析：根据条件（1）可知a_n∈{1，0，-1}，a_n²=0，1，根据（2）和（3）数列{an}前2009项和为-99，数列{（a_n+1）²}前2009项和为2010，利用完全平方公式展开，整体代换，即可求得{a_n}前2009项中，取值为-1的项的个数．

解答：解：∵对任意n∈N+，an∈{t|t=cos

mπ

2

，m∈Z}，
∴a_n∈{1，0，-1}，a_n²=0，1
∵数列{a_n}前2009项和为-99，即a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₉=-99，
数列{（a_n+1）²}前2009项和为2010，即（a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₀₉+1）²
=a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₀₉²+2（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₉）+2009=2010，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₀₉²=199，②
由①②知{an}前2009项中，取值为-1的项149个．
故选C．

点评：考查数列的应用即数列的求和问题，题目与三角函数结合，命题形式新颖，同时考查了三角函数的周期性和特殊角的三角函数值，在计算过程中注意整体代换，属中档题．