分析:(i) 将an+1=an2+5转化成 an+1=an2+4+1,利用基本不等式,an+1=≥2an×2+1,整理即可.
解答:证明:(i)由数学归纳法知,a
n>0,
∴a
n+1=a
n2+5=a
n2+4+1≥2a
n×2+1=4a
n+1.
(ii) 对k≥2,有a
k=a
k-12+5=a
k-12+4+1>4a
k-1+1>4(4a
k-2+1)+1>…>4
k-1a
1+4
k-2+…+4+1
=
∴
<.
对所有的n≥1,有
≤∴
++…+<+ +…+=
(1-)<(Ⅱ)欲证
>a2n-2011(n>2011),只需证a
n+2011>a
n2(n>2011),
∵a
n+1>a
n2+5,n=1,2,3,….
∴a
n+2011>a
n+20102+5
∴a
n+2010>a
n+20092+5
∴a
n+2009>a
n+20082+5
…
a
n+1>a
n2+5
∴∴a
n+2011+a
n+2010+…+a
n+1>a
n+20102+a
n+20092+…+a
n+12+a
n2+5×2011
∴a
n+2011>(
an+20102-an+2010+ )+(
an+20092-an+2009+ )+9
an+12-an+1+ )
-×2010+an2+5×2011 =
2010 |
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/images/part/8721.png) |
i=1 |
(an+i-)2+(5×2011-
×2010)+a
n2>a
n2 故
>a2n-2011(n>2011) 点评:本题考查了不等式的证明,主要用到了放缩法、分析法.还需具有转化,代换、计算的能力.