Question

（2007广州市水平测试）已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）若斜率为-1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N，求

AM

•

AN

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解法一：设圆C的圆心为C，推出直线AC的方程．利用直线OA的斜率，求出直线OA的垂直平分线，求出圆心C的坐标，圆的半径，得到圆的方程．
解法二：设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，通过圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．解得

a=7 b=-1 r=5 2

，求出圆的方程．
解法三：设圆心C的坐标为（a，b）．依题意通过解方程组，求出圆的圆心坐标求出半径，得圆的方程．
（2）设直线l的方程为y=-x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．利用直线与圆的方程列出方程组，借助韦达定理，利用向量数量积，通过直线l与圆C相交于不同两点，求出

AM

•

AN

的取值范围．

解答：（本小题满分14分）
（1）解法一：设圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率k_AC=-1，
∴直线AC的方程为y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直线OA的斜率kOA=

4

2

=2，
∴直线OA的垂直平分线为y-2=-

1

2

(x-1)，即x+2y-5=0．
解方程组

x+y-6=0 x+2y-5=0

得圆心C的坐标为（7，-1）．
圆的半径为r=|AC|=

(7-2)2+(-1-4)2

=5

2

，
圆的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
解法二：设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
依题意得

(2-a)2+(4-b)2=r2 |a-b+2| 2 =r a2+b2=r2

，
解得

a=7 b=-1 r=5 2

圆的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
解法三：设圆心C的坐标为（a，b）．
依题意得

b-4 a-2 ×1=-1 a2+b2 = (a-2)2+(b-4)2

，
解得

a=7 b=-1

，
∴圆心C的坐标为（7，-1）．
∴圆C的半径为r=|OC|=

72+(-1)2

=5

2

．圆的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
（2）解：设直线l的方程为y=-x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

y=-x+m (x-7)2+(y+1)2=50

，
消去y得2x²-（2m+16）x+m²+2m=0．
∴x1+x2=m+8， x1x2=

m2+2m

2

．
∴

AM

•

AN

=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-4）（y₂-4）=（x₁-2）（x₂-2）+（-x₁+m-4）（-x₂+m-4）=2x1x2-(m-2)(x1+x2)+(m-4)2+4=m²+2m-（m-2）（m+8）+（m-4）²+4=m²-12m+36=（m-6）²．
∵直线l与圆C相交于不同两点，
∴

|7-1-m|

2

＜5

2

．
∴-4＜m＜16．
∴

AM

•

AN

的取值范围是[0，100）．…（14分）

点评：本小题主要考查直线和圆、平面向量等基础知识，考查数形结合、函数与方程的数学思想方法，以及运算求解能力、创新意识．