【题目】已知 .
(Ⅰ)对一切 恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)证明:对一切 ,都有
成立.
【答案】解:(I) ,则
,
设 ,则
,
单调递减,②
单调递增,
所以 ,对一切
恒成立,所以
;
(Ⅱ)问题等价于证明 ,
由(1)可知 的最小值是
,当且仅当
时取到,
设 ,则
,易知
,当且仅当
时取到,
从而对一切 ,都有
成立
【解析】本题主要考查函数的单调性、最值问题,以及导数的应用和不等式的证明问题。(1)把恒成立的问题要利用转化的思想进行等价转化,把不等式2 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立的问题转化为a ≤ 2 ln x + x + 3 /x恒成立的问题,进而利用导数求解最小值即可求出a的取值范围。(2)要证明的不等式问题要转化为证明 x ln x > x/ e x 2 /e的问题,根据函数的单调性进行求解即可。
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】以下关于命题的说法正确的有(填写所有正确命题的序号).
①“若 ,则函数
(
,且
)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若 ,则
”的否命题是“若
,则
”;
③命题“若 ,
都是偶数,则
也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若 ,则
”与命题“若
,则
”等价.
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【题目】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家 和3个欧洲国家
中选择2个国家去旅游.
(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括 但不包括
的概率.
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【题目】已知圆 的方程为
,直线
的方程为
,点
在直线
上,过点
作圆
的切线
,切点为
.
(1)若点 的坐标为
,求切线
的方程;
(2)求四边形 面积的最小值;
(3)求证:经过 三点的圆必过定点,并求出所有定点坐标.
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